小さな無限 - 黒田教育研究所

算数における大きな無限と小さな無限④

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:58:08 +0000

　コメントを頂いて、少し思いつきましたので、もう一つ書きたいと思います。数字には、アラビア数字（算用数字）、漢数字、ローマ数字などがあります。アラビア数字とは、0，1，2、・・・、9までの10個の数字です。漢数字とは、一、二、百、万などの数字です。ローマ数字とは、Ⅰ、Ⅱなどの数字で、10はⅩ、100はCを使います。これらの数字を、種類で分けてみると、漢数字とローマ数字が同じ種類となります。漢数字とローマ数字は、数字が大きくなると、次々にその単位を示す新しい漢字や記号が必要となります。メリットは、二百三十四は、三十四二百と左右の順序を入れ替えても、表す数の大きさが等しいということです（通常このようなことはしませんが）。これはローマ数字も同じで、それぞれ数の記号が異なるので、順序を入れ替えても問題がありません。
　一方、アラビア数字は、0～9までの10個の記号のみで、全ての数を表すことができます。その秘訣は、数の位置関係に意味づけを行ったことと、0の使用にあります。例えば、2と3という数字を用いた場合、23と32は同じ数字を1回ずつ用いていますが、左右の位置関係の違いによって、数の大きさが異なります。このように、数字を左右のどの位置におくかで数の大きさが違うため、たった10個の記号で様々な数の大きさを表現することができるのです。また、０という概念の発見と、0という記号の発明も重要でした。これにより、漢数字で二百三と記した場合、10の位は何も記しませんが、アラビア数字で同じようにしてしまうと、23となってしまいます。ここに0という記号を用いることで、203と表すことができるようになったのです。アラビア数字は、有限の記号を用いて無限にチャレンジするという凄い試みであったのです。（終了）

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算数における大きな無限と小さな無限③

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:57:07 +0000

　小学校での大きな無限と小さな無限を考えるとき、いつも望遠鏡と顕微鏡の発明を思い出します。19世紀には望遠鏡技術の向上により天文学が飛躍的に発展しました。宇宙の様々な現象に対する根拠が、宇宙空間に飛び出さずとも少しずつ解明されていった時代と言えます。一方、20世紀には顕微鏡技術の向上により、医学や生物学が飛躍的に発展しました。肉眼では見えない世界には、様々なルールや特性があることが解明されていった時代と言えます。
　そのように考えると、2世紀以上にわたって人類が辿ってきた道を、子どもたちは、わずか数年で獲得するのですから、立ち止まりや混乱があることは当たり前のことだと思います。むしろ、立ち止まりこそが重要なのであって、その子どもの持つ疑問に寄り添い、互いに考えを進めていく姿勢が、先生に求められているのだと感じます。（終了）

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算数における大きな無限と小さな無限②

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:56:05 +0000

　小学校3年生では、小数を学びます。現在は、分数を先に学習しますので、0.1は1/10のこととして、小数は分数によって定義されます。小数は、整数での十進位取り構造を、より微細な小数にも同じように適用するということですので、小数という数自体の理解には、それほど困難が生じない場合が多いです。ただし、加減乗除の計算は、筆算形式や小数点移動が整数の計算の場合と大幅に異なりますので、理解が難しいです。続いて4年生では、小数第二位と第三位までの小数を学習し、小数第四位、第五位、・・・とこちらも無限にあることに軽く触れられます。
　小数自体の理解は難しくないと書きましたが、本当はこの小数の単位が無限であることは、これまでの整数（正しくは０と正の整数）の際に厳然と決まっていたルールを根本から覆すことになります。それは、1の次に大きいのは2、2の次に大きいのは3という整数の根本ルールが小数では通用しないということです。つまり、1.1の次に大きいのは1.2ではなく、その間に1.15があり、さらに1.13はその間にあり、1.105はさらにその間にあることになります。次に大きな数を一つ決定することができないのが小数なのです。4年生での小数の学習では、「1.1の次に大きな小数は何でしょうか？」という発問が、「小さな無限」の学びへの重要なキーワードと言えるのです。

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算数における大きな無限と小さな無限①

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:55:06 +0000

　小学校4年生では、億、兆といった大きな数を学びます。そして、さらに大きな数として京（けい）、垓（がい）などがあり、無量大数（10の68乗）へと続いていくということに触れます。先生が無量大数よりもさらに大きな数があり、無限に大きな数があるというと、子どもたちの中には、「それやったら、兆に兆をかけて、さらに兆をかけて、兆・兆・兆・・・・」と、テンションがやたらと上がってしまう子もいたりします。一つ一つの数は、厳密な具体ですが、それを限りなく大きくしていく無限というのは「感覚的な抽象」の世界です。この無限を「厳格な抽象」にしていくのは、高校の数学になりますが、「ｎ→∞」は、なかなかに手ごわいものといえます。4年生の大きな数の学習は、億や兆といった大きな数の単位を学ぶというだけでなく、「大きな無限」の学びの始まりといえるのです。

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