割合 - 黒田教育研究所

算数の「割合」指導をめぐって⑦　厳密な抽象に接近するための割合の指導

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:52:19 +0000

　幼児の繰り返しを好む特性からもわかりますが、低学年での厳密な具体の場合は、繰り返すことによって体感させ、瞬時に反応できるまでのトレーニングが有効です。例えば、九九の学習において、何度も何度も唱えさせることで、答えが瞬時に出てくる状態まで持っていくことがそれにあたります。一方で、高学年での厳密な抽象の場合は、あまりに記憶することが多く、分岐が複雑になると、厳密な抽象へと向かう気力が衰えてしまいます。
　では、割合の学習はどう接近すれば、厳密な抽象へと向かうのでしょうか。万能薬がないのと同様、各指導法にも一長一短がありますので、絶対はありませんが一例を示します。まずは、第二用法：基準量×割合＝比較量を、基準とするというものです。この用法は、２０００円のＴシャツがあります。本日は２割引です。何円でしょうか（消費税考えない）。というもので、２０００×０.８＝１６００　１６００円というもので、三つの用法の中で最も、厳密な具体と厳密な抽象がつながりやすいものです。どのような文章題であっても、まずはこの式に当てはめてから解くという指導です。そして、等式の性質を用いた式変形という厳密な抽象の方法を用いて、答えを導き出します。先の問題であれば、２０００円と値引きした１６００円がわかっていて、何割引かを求める際にも、２０００×□＝１６００、□＝１６００÷２０００、□＝０.８、２割引と解くわけです。もちろん、三つの用法を瞬時に的確に用いることができればベストなのですが、なかなかそれは難しいです。
　大人である私たちを振り返っても、こうした割合の場面では、第二用法に入れ込んでみて、式変形することの方が多いのではないでしょうか。また、計算をしてみて「あっ、割る数と割られる数が逆！」と間違いに気づくこともあります。大切なのは、少数の厳密な抽象の原理の理解と、得られた答えの妥当性をチェックする感覚を磨くことだと思っています。（終了）

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算数の「割合」指導をめぐって⑥　小学校高学年における厳密な抽象

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:51:19 +0000

　小学校低学年での厳密な具体をもとに、高学年では厳密な抽象が取り上げられます。厳密な抽象は、３年生くらいから少しずつ入ってきて、５年生でピークとなります。xやyといった文字や文字式、単位や助数詞のつかない数などがありますが、割合はその中でも最も理解が難しい内容といえます。割合の難しさの要因は主に以下の三つです。
　一つ目は、文章から、基準量、比較量、割合などを適切に抽出することが難しいこと。
　二つ目は、求めるべき数値に応じて、第一用法：比較量÷基準量＝割合、第二用法：基準量×割合＝比較量、第三用法：比較量÷割合＝基準量の内から、適切な用法を選択し、立式することが難しいこと。
　三つ目は、小数の入った乗除の計算を正しく行い、答えに正しい単位、助数詞、倍などを付けるのが難しいこと。
　この過程を見ると、大人でも少々滅入ってしまいます。あまりにも手順が複雑で多いと、厳密な抽象に思考が向かうのではなく、簡便な方法での解決手順を記憶する方向へと思考が逃げてしまいがちです。そのため、文章内の助詞に着目させて機械的に三つの量を抽出させたり、「くもわ」などの記号を用いて式の意味をあまり考えさせずに計算させるといった指導になってしまいがちです。
　次回は、厳密な抽象に接近するための割合の指導について書きます。

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算数の「割合」指導をめぐって⑤　小学校低学年における厳密な具体

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:49:39 +0000

　幼児期の感覚的な「具体と抽象」を拠り所として、小学校において厳密な「具体と抽象」へと足取りを進める際、「その方法は？」「順序は？」どうすべきかということが議論になります。低学年では「具体」を中心に、様々な教具などを用いて「厳密」へと接近していきます。繰り上がりのあるたし算での数図ブロックの操作などは、その典型的なものです。ただし、こうした教具などを用いた学習を行っていても、どうも厳密に接近できていないなあと感じる子どもが見受けられます。具体が今解いている問題にだけ通用していて、新たな問題ではまたスタート地点の０に戻ってしまうような感覚です。それは、感覚的な具体と厳密な具体との間のギャップがとても大きいと感じる子がいるということにほかなりません。
　私は、この要因が、両者の間に位置する「確信としての具体」の育ちの有無にあると考えています。確信としての具体とは、数字でいえば１の次には必ず２、２の次には必ず３が来るというものです。これは、何度も数を唱（とな）えるという活動によって鍛えられていきます。たとえば、お風呂で「３０まで数えたら出ようね」といったものです。歌のように１から３０までの数を唱える繰り返すことで、１の次には必ず２、２の次には必ず３という確信としての具体が構築されていきます。さらには、「今日は５０まで数えよう」と言われて、「そんなに長いこと入るの？」といった会話を交わすことで、数の大小関係にも確信としての具体が身についてきます。家庭や園でのこうした活動の強弱が、小学校での算数の学力に大きく影響を及ぼしていると感じています。幼児期の絵本読みや遊びなどにおける大人を困らせるほど繰り返しを好む傾向は、確信としての具体づくりの要（かなめ）なのかもしれません。
　次回は、小学校高学年における厳密な抽象について書きます。

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算数の「割合」指導をめぐって④　幼児における具体と抽象

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:45:29 +0000

　前回、小学校では、「学年が上がるにつれて具体から抽象へと軸足を移していくといえます」と書きましたが、では、幼児期はどうなのでしょうか。幼児期に抽象がないかといわれれば、それは違っていて、幼児期にも豊富な抽象（空想・想像）があります。幼児は自分が体験したり見たことのない宇宙のことや、体の内部のこと、地中にサツマイモが埋まっている様子などを、自由に想像して描くことができます。私が幼少のころは、ウルトラマンやウルトラセブンが全盛期で、はるか何万光年のかなたからやってきたなどと、得意げに話していたことを思い出します。もちろん、こうした「抽象」は、感覚的なものであって厳密性を持つものではありません。
　したがって、幼児期には、感覚的な「具体と抽象」が存在し、それらが混在している状態と捉えることができます。ただし、だからと言って、不十分で未完成なものであると捉えることは誤りです。幼児が、見よう見まねに流行の歌を踊りながら歌う際、その子は歌詞の意味を正確に理解しているわけではありませんが、周りの大人は「上手に歌って踊れたね」と褒めます。思考の原石というものが、感覚的な「具体と抽象」にあることを、大人たちは子育てなどの経験から知っているからです。
　次回は、小学校低学年における厳密な具体について書きます。

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算数の「割合」指導をめぐって③　具体と抽象

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:43:11 +0000

　少し話題を変えますが、算数の指導においては、一般的に低学年は具体的操作を多用し、高学年では形式的操作へと移行するとされています。これを具体と抽象と言う言葉を用いると、学年が上がるにつれて具体から抽象へと軸足を移していくといえます。
　では、割合の学習で扱う、具体と抽象は何でしょうか。基準量や比較量は、何人ということなので具体です。一方、割合は、何倍ということなので、そこには単位も助数詞も付いていません。したがって、割合は抽象です。
　抽象は、地に足の着いた感じがしないので、なんとなく難しいイメージになりますが、その一方で、様々な異なる局面をつなげてくれる役割があります。例えば、「定員が５０人の講座に８５人の希望者があり、希望者の人数は定員の人数の何倍ですか」では、８５÷５０＝１.７　答え１.７倍でした。この１.７倍は、定員１００人に希望者１７０人の場合や、定員５００人に希望者８５０人場合にも、同様に等しく成り立ちます。つまり、全く異なる具体があったとしても、割合という考えを用いれば、それらが同じ仲間であるということを教えてくれるのです。
　次回は、幼児期における具体と抽象について書きます。

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算数の「割合」指導をめぐって②　５年生の割合の学習って？

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:40:34 +0000

　割合の教育的意義に入る前に、そもそも、５年生の割合の学習ってどんなことするの？と思われる方もおられると思うので問題を一つ取り上げます。
　定員が５０人のプログラミング講座に８５人の希望者がありました。希望者の人数は、定員の人数の何倍ですか。８５÷５０＝１.７　答え１.７倍
　ここでは、５０を基準量、８５を比較量として、「割合＝比較量÷基準量」として割合を定義しています。その後、今度は基準量を求める問題や、比較量を求める問題などが続きます。
　さて、ここでのポイントは、基準量と比較量がそれぞれ「人」という事物の数量を示す「同じ」助数詞が付いているということと、その二つの数のわり算によって求められる割合には助数詞が付いていないということです。これまであまり意識せずに計算してきたことかもしれませんが、ちょっとした違いを意識することで、単に数値計算をして答えを求めるというだけでなく、数値計算によって新たに導き出される数は、意味合いの違ったものになることもわかってきます。
　割合の教育的意義を考える上では、こうした立ち止まりが大切なように感じます。また後日、続きを発信していきます。

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算数の「割合」指導をめぐって①　割合の教育的意義

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:31:15 +0000

　昨日、知り合いの小学校の先生から「割合の教育的意義って何でしょうか？」という質問を受けました。正直、こうした質問に答えるのが一番難しいと感じます。子どもが割合の問題で間違う特徴や、指導の際のポイントを聞かれたら、それなりに答えることができるのですが、「なぜ割合を教えないといけないのか」という問いは、本質を突いたものであるからです。割合は生活場面でも数多く出てくるものだし、中学校数学に進んだ時にも大事な考え方なのでといった回答は、実際のところほとんど何も答えていないのと同じです。中学校数学、高校数学ともなれば、「本当に生活のどの場面に登場するのか、もうこれ以上数学を学びたくないし」と、たちまちこちら側の論理が破綻してしまいます。
　今回はせっかく重要な問いをもらいましたので、これから少しずつ私の考えを発信していこうと思います。

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