倍数と約数の指導をめぐって②

黒田恭史 — Mon, 18 Sep 2023 06:18:16 +0000

　約数と公約数の学習の後、今度は、その数を基点とした数の属性群を考えるというのが倍数の学習です。約数は有限の個数であるのに対して、倍数は無限の個数であるという違いをどう上手くイメージさせるかも、指導のポイントとなります。
　では、１２と３０の公倍数を考える場合（正の数のみが対象の場合）は、１２を１×２×２×３、３０を１×２×３×５と素因数分解して、双方の共通項と、異なる項を見ていきいます。そうすると、１×２×３が共通項で、異なる項は、１２では×２、３０では×５となり、これらを合算した１×２×３×２×５が公倍数の一つとなるわけです。その結果、６０が公倍数となり、この６０に×２＝１２０、×３＝１８０、・・・としたものが公倍数となります。そして、最小公倍数は６０となります。
　また、４６２と３９０といった大きな数の倍数を求める問題は教科書には出てきませんが、列記する方法ではほとんどお手上げになります。
　下記のように素因数分解すると、その和集合が公倍数ですので、
　４６２＝１×２×３×７×１１
　３９０＝１×２×３×５×１３
１×２×３×５×７×１１×１３＝３００３０と簡単に求めることができます。倍数と公倍数の指導については、「算数授業要約ちゃんねる」でも取り上げていますので、ご興味のある方は、ぜひご覧ください。（終了）

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倍数と約数の指導をめぐって①

黒田恭史 — Mon, 18 Sep 2023 06:15:59 +0000

　これまでの数と計算の領域の内容では、それぞれの数（整数、小数、分数）の特徴を理解することと、四則演算の仕方を理解することが主な目標となってきました。倍数と約数、さらには公倍数と公約数では、数それ自体の分析と、数と数の関係性に目を向ける学習活動となります。ここに理解の難しさがあるのですが、同時に数の捉え方の拡張という視野の広がりがあります。
　そのように考えるとき、一般的には倍数を学習してから約数の学習を行いますが、指導の順序を逆転させた方が、より上記の視点に子どもの意識が向くように思ったりします。倍数は、かけ算ですので、九九の延長という視点から子どもにとって馴染みやすい内容であるために、先に扱われているように思うのですが、数それ自体の分析という視点が希薄になりがちです。
　数それ自体の分析や数と数の関係性を考える上では、個々の数の持つ個性（属性）をしっかりと知っておかなくてはなりません。その上で、異なる数と数の関係性は、個性のぶつかり合いですので、それらの数と数に応じて、異なる反応（公倍数や公約数が異なる）を示すということを知る必要があります。では、個々の数の持つ個性とはいったい何でしょうか。
　例えば、１２という数の持つ個性は、（１×）２×２×３と表すことで見出すことができます。なお、（１×）は、公約数に１が含まれることを強調するため、あえてここでは書いておきます。１が一つと２が二つと３が一つの数のかけ算によってできた数というわけです。このように変形することを、素因数分解（素因数というものに分解するという意味）と言います。そして、素因数とは、分解した要素、ここでは、２と３のことを指します。また、素因数の「素」という意味は、これ以上分解不能ということを意味し、その数自体と１しか約数のない数のことです。具体的には２，３，５，７，１１、１３、１７、・・・となります。これらの数によるかけ算の状態にすることを素因数分解というわけです。
　では、１２と３０の公約数を考える場合（正の数のみが対象の場合）は、１２を１×２×２×３、３０を１×２×３×５と素因数分解して、双方の共通項を見ていきいます。そうすると、１×２×３が共通項ですので、これらの組み合わせが公約数となるわけです。その結果、１、２、３、６（＝２×３）の４つが公約数となり、その内の６が最大公約数になります。教科書では、１２と２０の約数を列記していき、公約数を求めますが、この方法だと、手間がかかるのと、漏れ落ちが少なくないというデメリットがあります（先の方法の検証のためには必要です）。最大のポイントは、数それ自体を「分解」しながら、属性を「分析」していくという視点が育ちにくいところです。
　また、４６２と３９０といった大きな数になると約数の列記が大変になってきますので、下記のように素因数分解すると、とてもシンプルです。
　４６２＝１×２×３×７×１１
　３９０＝１×２×３×５×１３
　約数と公約数の指導については、「算数授業要約ちゃんねる」でも取り上げていますので、ご興味のある方は、ぜひご覧ください。
　次回は、倍数と公倍数について取り上げます。

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公倍数 - 黒田教育研究所

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倍数と約数の指導をめぐって①