算数・数学教育 - 黒田教育研究所

【提案】子どもの一律を求めたがる算数・数学授業からの脱却

黒田恭史 — Sat, 09 Mar 2024 01:34:52 +0000

　これまで算数・数学の授業を数多く参観してきましたが、子どもの一律を強く求めたがる授業があると思います。

　例えば、2年生の長さの学習の導入段階では、直接比較・間接比較・任意単位・不変単位の順に指導がなされ、最終的に不変単位としてのcmが定義されます。実際の授業では、直接比較（具体物を並べて比較する）から入っていくのですが、この時点では物差しを使って長さを比べるといった子どもの発言は、禁句とされます。不用意に「物差しで測ったら比べられる」などと発言しようものなら、教員はその発言を無視するか、場合によってはにらみつけるといったことも見られたりします。こうした授業体験を子どもたちが重ねていくと、知っていてもこの場では発言してはいけないんだという、教師への忖度を学ぶことになってしまうのではないかと危惧するくらいです。

　一方で、学年が上がっていくと、前学年で学んだことは理解・習得済みという前提で授業が構成されることがあります。その結果、学習についていくことのできない子どもは、早い時点からあきらめモードに入り、何も書けていない真っ白なノートを隠そうとします。既習の内容だって、忘れることもあるし、わからないままに来ていることもあるという位置に立てば、前提となる内容一覧表などの小さなリストを作っておき、それを配布したうえで、子どもがそれらを拠り所としながら学習に向かうこともできるのにと思います。

　こうした子どもの一律を強く求めたがることの要因は何でしょうか。私は、教員の意識の中に「ドラマとしての授業」に対する理想像が強く宿っているからではと思っています。授業前には、子どもたちは今日取り上げる算数・数学の内容について理解していないけれども、授業時間内に「こうじゃない、ああじゃない、わかった！」という瞬間が生じ、瞬く間に全体共有されていくといったシナリオが、教師の心の中に用意されているように思うのです。

　こうした授業の主役は、子どもたちではなく、タクトを振って子どもたちを動かす先生です。そう考えると、研究授業の導入段階での、過度なパフォーマンスをしがちな先生の心境もよくわかってきます。また、「授業の山場」という言葉の持つ両面性も明らかになってきます。今一度、既存の算数・数学授業観を見直すことが必要だと感じます。体育や音楽では、その分野で優れた能力を持つ子どもは授業の中でも称賛され、模範演技を披露したりするのですが・・・。

　子どもが未習（あるいはすでにどこかで学習済み）の問題と出会い、各自がどのようにその問題と向き合い、既存の知識とのすり合わせを行い、知識の体系をどう変容させ、定着させていくのかのプロセスを伴走する視点に立つことが大切だと思います。その前提に立ったうえで、集団というものが、それぞれの子どもの変容にどう影響を及ぼすのかという視点から授業づくりが検討されることが重要だと考えます。

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倍数と約数の指導をめぐって②

黒田恭史 — Mon, 18 Sep 2023 06:18:16 +0000

　約数と公約数の学習の後、今度は、その数を基点とした数の属性群を考えるというのが倍数の学習です。約数は有限の個数であるのに対して、倍数は無限の個数であるという違いをどう上手くイメージさせるかも、指導のポイントとなります。
　では、１２と３０の公倍数を考える場合（正の数のみが対象の場合）は、１２を１×２×２×３、３０を１×２×３×５と素因数分解して、双方の共通項と、異なる項を見ていきいます。そうすると、１×２×３が共通項で、異なる項は、１２では×２、３０では×５となり、これらを合算した１×２×３×２×５が公倍数の一つとなるわけです。その結果、６０が公倍数となり、この６０に×２＝１２０、×３＝１８０、・・・としたものが公倍数となります。そして、最小公倍数は６０となります。
　また、４６２と３９０といった大きな数の倍数を求める問題は教科書には出てきませんが、列記する方法ではほとんどお手上げになります。
　下記のように素因数分解すると、その和集合が公倍数ですので、
　４６２＝１×２×３×７×１１
　３９０＝１×２×３×５×１３
１×２×３×５×７×１１×１３＝３００３０と簡単に求めることができます。倍数と公倍数の指導については、「算数授業要約ちゃんねる」でも取り上げていますので、ご興味のある方は、ぜひご覧ください。（終了）

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倍数と約数の指導をめぐって①

黒田恭史 — Mon, 18 Sep 2023 06:15:59 +0000

　これまでの数と計算の領域の内容では、それぞれの数（整数、小数、分数）の特徴を理解することと、四則演算の仕方を理解することが主な目標となってきました。倍数と約数、さらには公倍数と公約数では、数それ自体の分析と、数と数の関係性に目を向ける学習活動となります。ここに理解の難しさがあるのですが、同時に数の捉え方の拡張という視野の広がりがあります。
　そのように考えるとき、一般的には倍数を学習してから約数の学習を行いますが、指導の順序を逆転させた方が、より上記の視点に子どもの意識が向くように思ったりします。倍数は、かけ算ですので、九九の延長という視点から子どもにとって馴染みやすい内容であるために、先に扱われているように思うのですが、数それ自体の分析という視点が希薄になりがちです。
　数それ自体の分析や数と数の関係性を考える上では、個々の数の持つ個性（属性）をしっかりと知っておかなくてはなりません。その上で、異なる数と数の関係性は、個性のぶつかり合いですので、それらの数と数に応じて、異なる反応（公倍数や公約数が異なる）を示すということを知る必要があります。では、個々の数の持つ個性とはいったい何でしょうか。
　例えば、１２という数の持つ個性は、（１×）２×２×３と表すことで見出すことができます。なお、（１×）は、公約数に１が含まれることを強調するため、あえてここでは書いておきます。１が一つと２が二つと３が一つの数のかけ算によってできた数というわけです。このように変形することを、素因数分解（素因数というものに分解するという意味）と言います。そして、素因数とは、分解した要素、ここでは、２と３のことを指します。また、素因数の「素」という意味は、これ以上分解不能ということを意味し、その数自体と１しか約数のない数のことです。具体的には２，３，５，７，１１、１３、１７、・・・となります。これらの数によるかけ算の状態にすることを素因数分解というわけです。
　では、１２と３０の公約数を考える場合（正の数のみが対象の場合）は、１２を１×２×２×３、３０を１×２×３×５と素因数分解して、双方の共通項を見ていきいます。そうすると、１×２×３が共通項ですので、これらの組み合わせが公約数となるわけです。その結果、１、２、３、６（＝２×３）の４つが公約数となり、その内の６が最大公約数になります。教科書では、１２と２０の約数を列記していき、公約数を求めますが、この方法だと、手間がかかるのと、漏れ落ちが少なくないというデメリットがあります（先の方法の検証のためには必要です）。最大のポイントは、数それ自体を「分解」しながら、属性を「分析」していくという視点が育ちにくいところです。
　また、４６２と３９０といった大きな数になると約数の列記が大変になってきますので、下記のように素因数分解すると、とてもシンプルです。
　４６２＝１×２×３×７×１１
　３９０＝１×２×３×５×１３
　約数と公約数の指導については、「算数授業要約ちゃんねる」でも取り上げていますので、ご興味のある方は、ぜひご覧ください。
　次回は、倍数と公倍数について取り上げます。

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「先生、なぜ数学を勉強しなくてはならないのですか？」に対する私の答え

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 10:00:44 +0000

　この質問は、数学の先生なら一度は生徒から受けるものではないかと思います。なかなか返答が難しい質問です。「将来に役立つから」とか「生活で必要になるから」といった返答では、生徒はたとえ引き下がったとしても、腑に落ちていないことは顔の表情から明らかです。「論理的思考力を身に付けるため」という模範回答も、言っているこちら側も、ちょっともやもやしてしまっています。
　その問いに対する私の答えは、次の3つの力を身に付けるためというものです。それは「議論すべきことと、議論すべきでないことの境界線が明確にわかること」、「議論して変えることができることと、変えることができないことの峻別ができること」、「議論して変えることのできないことを、議論の俎上に載せるためには、議論の前提となる枠組み自体を設計しなおすことが必要なことを理解していること」の3つです。前の2つは、ほぼ同じことを言っていますので、どちらかで納得してもらえれば思っています。算数も数学も、議論すべきことと議論すべきでないことを小学校1年生の段階から徹底的に扱います。小学校では、3＋2、2＋3，3－2は議論すべきことですが、2－3は議論すべきことではないということです。そして、2－3を議論の対象とするためには、負の数の存在を先に認めてから、この演算の是非を議論する必要があるということです。
　これらが混同した中で議論が行われると、私たちは混沌の渦に巻き込まれてしまいます。えっ、脳裏に先日の職員会議が浮かんだって。

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数学の方程式を「解く」から「解きほぐす」へ

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:59:14 +0000

　等号・不等号の議論を別のとことでしていたことに誘発されて、方程式に対する私の考え方を改めて整理してみました。
　中学校の数学では、方程式を解くという言い方をします。x＋3＝8という方程式の場合、等式の性質を用いて、左辺と右辺に－3を付け加えて、ｘ＋3－3＝8－3、ｘ＝8－3、ｘ＝5と解きます。ただ、私は、この「方程式を解く」という言い方には少し抵抗があります。
　というのも「問題が出され、その答えを求めよ」という、いわゆる数学授業の典型的な手法が、生徒の数学嫌いや、数学の苦手意識につながっているように感じるからです。正解は教師の手元に置かれており、生徒はその正解に向けて、最短かつ最適経路を用いて辿り着けと言われているようで、何ともかわいそうな気がするのです。そして自分の導き出してきた答えが正しいのか誤りであるかは、先生の判断に全て委ねるということが繰り返しなされていけば、数学の成績が優秀な成功者としての生徒以外は、誰もが数学を嫌いになってしまうでしょう。話が極端になりましたので、本題に戻ります。
　私は、「方程式を解く」から「方程式を解きほぐす」へと意識を転換させることが、この悪循環を断ち切る一つの方策であると考えています。x＋3＝8という方程式からｘ＝5までの過程は、方程式を少しずつ解きほぐしていることに他ならないからです。少し比喩を使いますが、x＋3＝8はイヤホンのコード線がこんがらがった状態で、ｘ＝5はイヤホンのコード線を解きほぐしてすっきりした状態ということです。すなわち、いずれのイヤホンの状態でも、イヤホンジャックに差し込み、イヤホンを耳に付けると音楽が聞こえるのと同様、x＋3＝8とｘ＝5は同じことを言っているのです。ですので、「方程式を解きほぐす」ことの意味を生徒と共有し、例えｘ＝5まで辿り着かずとも、少しでも方程式を解きほぐすことができているのであれば、そのこと自体をしっかりと評価するような数学教育のあり方がこれからは大切であると感じています。

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算数における大きな無限と小さな無限④

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:58:08 +0000

　コメントを頂いて、少し思いつきましたので、もう一つ書きたいと思います。数字には、アラビア数字（算用数字）、漢数字、ローマ数字などがあります。アラビア数字とは、0，1，2、・・・、9までの10個の数字です。漢数字とは、一、二、百、万などの数字です。ローマ数字とは、Ⅰ、Ⅱなどの数字で、10はⅩ、100はCを使います。これらの数字を、種類で分けてみると、漢数字とローマ数字が同じ種類となります。漢数字とローマ数字は、数字が大きくなると、次々にその単位を示す新しい漢字や記号が必要となります。メリットは、二百三十四は、三十四二百と左右の順序を入れ替えても、表す数の大きさが等しいということです（通常このようなことはしませんが）。これはローマ数字も同じで、それぞれ数の記号が異なるので、順序を入れ替えても問題がありません。
　一方、アラビア数字は、0～9までの10個の記号のみで、全ての数を表すことができます。その秘訣は、数の位置関係に意味づけを行ったことと、0の使用にあります。例えば、2と3という数字を用いた場合、23と32は同じ数字を1回ずつ用いていますが、左右の位置関係の違いによって、数の大きさが異なります。このように、数字を左右のどの位置におくかで数の大きさが違うため、たった10個の記号で様々な数の大きさを表現することができるのです。また、０という概念の発見と、0という記号の発明も重要でした。これにより、漢数字で二百三と記した場合、10の位は何も記しませんが、アラビア数字で同じようにしてしまうと、23となってしまいます。ここに0という記号を用いることで、203と表すことができるようになったのです。アラビア数字は、有限の記号を用いて無限にチャレンジするという凄い試みであったのです。（終了）

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算数における大きな無限と小さな無限③

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:57:07 +0000

　小学校での大きな無限と小さな無限を考えるとき、いつも望遠鏡と顕微鏡の発明を思い出します。19世紀には望遠鏡技術の向上により天文学が飛躍的に発展しました。宇宙の様々な現象に対する根拠が、宇宙空間に飛び出さずとも少しずつ解明されていった時代と言えます。一方、20世紀には顕微鏡技術の向上により、医学や生物学が飛躍的に発展しました。肉眼では見えない世界には、様々なルールや特性があることが解明されていった時代と言えます。
　そのように考えると、2世紀以上にわたって人類が辿ってきた道を、子どもたちは、わずか数年で獲得するのですから、立ち止まりや混乱があることは当たり前のことだと思います。むしろ、立ち止まりこそが重要なのであって、その子どもの持つ疑問に寄り添い、互いに考えを進めていく姿勢が、先生に求められているのだと感じます。（終了）

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算数における大きな無限と小さな無限②

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:56:05 +0000

　小学校3年生では、小数を学びます。現在は、分数を先に学習しますので、0.1は1/10のこととして、小数は分数によって定義されます。小数は、整数での十進位取り構造を、より微細な小数にも同じように適用するということですので、小数という数自体の理解には、それほど困難が生じない場合が多いです。ただし、加減乗除の計算は、筆算形式や小数点移動が整数の計算の場合と大幅に異なりますので、理解が難しいです。続いて4年生では、小数第二位と第三位までの小数を学習し、小数第四位、第五位、・・・とこちらも無限にあることに軽く触れられます。
　小数自体の理解は難しくないと書きましたが、本当はこの小数の単位が無限であることは、これまでの整数（正しくは０と正の整数）の際に厳然と決まっていたルールを根本から覆すことになります。それは、1の次に大きいのは2、2の次に大きいのは3という整数の根本ルールが小数では通用しないということです。つまり、1.1の次に大きいのは1.2ではなく、その間に1.15があり、さらに1.13はその間にあり、1.105はさらにその間にあることになります。次に大きな数を一つ決定することができないのが小数なのです。4年生での小数の学習では、「1.1の次に大きな小数は何でしょうか？」という発問が、「小さな無限」の学びへの重要なキーワードと言えるのです。

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算数における大きな無限と小さな無限①

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:55:06 +0000

　小学校4年生では、億、兆といった大きな数を学びます。そして、さらに大きな数として京（けい）、垓（がい）などがあり、無量大数（10の68乗）へと続いていくということに触れます。先生が無量大数よりもさらに大きな数があり、無限に大きな数があるというと、子どもたちの中には、「それやったら、兆に兆をかけて、さらに兆をかけて、兆・兆・兆・・・・」と、テンションがやたらと上がってしまう子もいたりします。一つ一つの数は、厳密な具体ですが、それを限りなく大きくしていく無限というのは「感覚的な抽象」の世界です。この無限を「厳格な抽象」にしていくのは、高校の数学になりますが、「ｎ→∞」は、なかなかに手ごわいものといえます。4年生の大きな数の学習は、億や兆といった大きな数の単位を学ぶというだけでなく、「大きな無限」の学びの始まりといえるのです。

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算数の「割合」指導をめぐって⑦　厳密な抽象に接近するための割合の指導

黒田恭史 — Sat, 16 Sep 2023 09:52:19 +0000

　幼児の繰り返しを好む特性からもわかりますが、低学年での厳密な具体の場合は、繰り返すことによって体感させ、瞬時に反応できるまでのトレーニングが有効です。例えば、九九の学習において、何度も何度も唱えさせることで、答えが瞬時に出てくる状態まで持っていくことがそれにあたります。一方で、高学年での厳密な抽象の場合は、あまりに記憶することが多く、分岐が複雑になると、厳密な抽象へと向かう気力が衰えてしまいます。
　では、割合の学習はどう接近すれば、厳密な抽象へと向かうのでしょうか。万能薬がないのと同様、各指導法にも一長一短がありますので、絶対はありませんが一例を示します。まずは、第二用法：基準量×割合＝比較量を、基準とするというものです。この用法は、２０００円のＴシャツがあります。本日は２割引です。何円でしょうか（消費税考えない）。というもので、２０００×０.８＝１６００　１６００円というもので、三つの用法の中で最も、厳密な具体と厳密な抽象がつながりやすいものです。どのような文章題であっても、まずはこの式に当てはめてから解くという指導です。そして、等式の性質を用いた式変形という厳密な抽象の方法を用いて、答えを導き出します。先の問題であれば、２０００円と値引きした１６００円がわかっていて、何割引かを求める際にも、２０００×□＝１６００、□＝１６００÷２０００、□＝０.８、２割引と解くわけです。もちろん、三つの用法を瞬時に的確に用いることができればベストなのですが、なかなかそれは難しいです。
　大人である私たちを振り返っても、こうした割合の場面では、第二用法に入れ込んでみて、式変形することの方が多いのではないでしょうか。また、計算をしてみて「あっ、割る数と割られる数が逆！」と間違いに気づくこともあります。大切なのは、少数の厳密な抽象の原理の理解と、得られた答えの妥当性をチェックする感覚を磨くことだと思っています。（終了）

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